What is called Acceleration?
त्वरण क्या होता है?
किसी गतिमान वस्तु के वेग में परिवर्तन की दर को उसके त्वरण ( acceleration ) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
त्वरण एक सदिश राशि है और इसकी दिशा, वेग की दिशा की ओर होती है। इसलिए, त्वरण \quad \alpha = \frac {\text {वेग में परिवर्तन}}{\text {परिवर्तन में समय}}
कैलकुलस विधि में त्वरण को \quad \alpha = \left ( \frac {dv}{dt} \right ) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
SI प्रणाली में त्वरण की इकाई ( m \ s^{-2} ) है।
त्वरण के विभिन्न प्रकार हैं –
- स्थिर त्वरण ( Uniform acceleration )।
- अस्थिर त्वरण ( Variable acceleration )।
- औसत त्वरण ( Average acceleration )।
- तत्कालिक त्वरण ( Instantaneous acceleration )।
इनका विवरण इस प्रकार है –
1. Uniform acceleration of motion
गति का स्थिर त्वरण
यदि किसी गतिमान वस्तु में समान समय के अंतराल में वस्तु के वेग में समान मात्रा में परिवर्तन होता है तो ऐसे त्वरण को स्थिर त्वरण ( uniform acceleration ) कहा जाता है।
विचार करें कि, एक वस्तु का वेग यात्रा के दौरान ( t_1 ) के समय अंतराल में \left ( v_1 \ \text {से} \ v_2 \right ) और ( t_2 ) के समय अंतराल में \left ( v_2 \ \text {से} \ v_3 \right ) में बदलता है।
तब स्थिर त्वरण के लिए –
\left ( \frac {v_2 - v_1}{t_1} = \frac {v_3 - v_2}{t_2} \right )
यहाँ, प्रति इकाई समय में वेग में परिवर्तन की दर बराबर होता है।
2. Variable acceleration of motion
गति का अस्थिर त्वरण
यदि किसी गतिमान वस्तु में समान समय के अंतराल में वस्तु के वेग में विभिन्न मात्रा में परिवर्तन होता है तो ऐसे त्वरण को अस्थिर त्वरण ( uniform acceleration ) कहा जाता है।
विचार करें कि, एक वस्तु का वेग यात्रा के दौरान ( t_1 ) के समय अंतराल में \left ( v_1 \ \text {से} \ v_2 \right ) और ( t_2 ) के समय अंतराल में \left ( v_2 \ \text {से} \ v_3 \right ) में बदलता है।
तब अस्थिर त्वरण के लिए –
\left ( \frac {v_2 - v_1}{t_1} \neq \frac {v_3 - v_2}{t_2} \right )यहाँ, प्रति इकाई समय में वेग में परिवर्तन की दर बराबर नहीं होता है।
3. Average acceleration of motion
गति का औसत त्वरण
औसत त्वरण की अवधारणा, एक ऐसे गतिमान वस्तु से जुडी होती है जो अस्थिर त्वरण से गति में होती है।
किसी गतिमान वस्तु का औसत त्वरण ( average acceleration ), उस वस्तु के वेग में कुल परिवर्तन और कुल समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विचार करें कि, एक वस्तु का वेग यात्रा के दौरान \left ( t_1 \ \text {और} \ t_2 \right ) क्षण पर क्रमशः \left ( v_1 \ \text {और} \ v_2 \right ) है।
तब, औसत त्वरण की अभिव्यक्ति इस प्रकार होगी –
a_{av} = \left [ \frac {v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \right ] = \left ( \frac {\Delta v}{\Delta t} \right )
4. Instantaneous acceleration
गति का तत्कालिक त्वरण
किसी वस्तु के गति के किसी विशेष क्षण पर या गति पथ के किसी विशेष बिंदु पर के त्वरण को उस वस्तु का तत्कालिक त्वरण ( instantaneous acceleration ) कहा जाता है।
यह, सूक्ष्म समय अंतराल ( \Delta t ) में वस्तु के औसत त्वरण ( average acceleration ) के मान के बराबर होता है, जब समय अंतराल शून्य के करीब तक पहुंचता है।
इसलिए, तत्कालिक त्वरण की अभिव्यक्ति इस प्रकार होगी –
\alpha = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac {\Delta v}{\Delta t} = \left ( \frac {dv}{dt} \right )
परन्तु \quad v = \left ( \frac {dx}{dt} \right )
इस प्रकार से \quad \alpha = \frac {d}{dt} \left ( \frac {dx}{dt} \right ) = \left ( \frac {d^2 x}{d t^2} \right )
इसलिए, त्वरण किसी गतिमान वस्तु का समय के सापेक्ष में वेग ( velocity ) का प्रथम क्रम व्युत्पन्न ( first order derivative ) और स्थिति ( position ) का दूसरा क्रम व्युत्पन्न ( second order derivative ) होता है।
इस विषय पर आधारित संख्यात्मक प्रश्न देखें –