What is Uniform Circular Motion?
स्थिर वृत्तीय गति किसे कहते हैं।
यदि कोई कण वृत्ताकार पथ पर नियत चाल से गति करता है अर्थात वह वृत्त की परिधि पर समान समय अंतराल में समान दूरी तय करता है, तो उसकी गति को स्थिर वृत्तीय गति ( uniform circular motion ) कहते हैं।
स्थिर वृत्तीय गति ( Uniform circular motion ) एक त्वरित गति होती है और इससे संबंधित त्वरण को अभिकेन्द्र त्वरण ( centripetal acceleration ) के रूप में जाना जाता है। यह वक्रीय गति ( Curvilinear Motion ) का एक प्रकार होता है।
Curvilinear motion
वक्रीय गति
यदि किसी गतिमान वस्तु की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए दो निर्देशांकों ( co-ordinates ) की आवश्यकता होती है जो समय के साथ बदल रही है, तो वस्तु की गति को वक्रीय गति ( curvilinear motion ) कहा जाता है।
यह एक द्वि-आयामी गति ( two dimensional motion ) है जिसे आमतौर पर एक समतल गति ( planer motion ) के रूप में जाना जाता है।
उदाहरण –
- सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति।
- घुमावदार रास्ते में चलती कार।
- वृत्तीय गति ( circular motion ) आदि।
Properties of Uniform Circular Motion
स्थिर वृत्तीय गति के गुण
स्थिर वृत्तीय गति ( Uniform circular motion ) के गुणों से संबंधित सबसे प्रमुख शब्द ये हैं –
- कोणीय विस्थापन ( Angular displacement )।
- कोणीय वेग ( Angular velocity )।
- कोणीय त्वरण ( Angular acceleration )।
- आवर्त काल ( Time period )।
- आवृत्ति ( Frequency )।
इनका विवरण इस प्रकार है –
1. Angular displacement
कोणीय विस्थापन
चित्र में दिखाए गए एक वृत्ताकार पथ में गतिमान किसी कण पर विचार करें। माना कि कण प्रारम्भ में A बिंदु पर है और ( t ) समय के पश्चात् यह बिंदु P पर पहुंचता है।
माना कि \quad \angle AOP = \theta है।
अब मान लें कि एक छोटे समय अंतराल ( \delta t ) के पश्चात् कण की स्थिति बिंदु Q पर होता है और \quad \angle POQ = ( \delta \theta ) है।
तब ( \delta \theta ) को ( \delta t ) समय में कण का कोणीय विस्थापन ( angular displacement ) कहा जाता है। इसे रेडियन ( radian ) में मापा जाता है।
2. Angular velocity
कोणीय वेग
वृत्तीय पथ के केंद्र O पर अंतरित कोण ( subtended angle ) ( \theta ) के परिवर्तन की दर को कण का कोणीय वेग ( angular velocity ) कहा जाता है।
चित्र के अनुसार ( \delta t ) समय में कण का औसत कोणीय वेग ( average angular velocity ) होता है –
\bar {\omega} = \frac {\text {कोणीय विस्थापन}}{\text {समय}} = \left ( \frac {\delta \theta}{\delta t} \right )
अतः P बिंदु पर का कोणीय वेग ( angular velocity ) होगा –
\omega = \lim\limits_{Q \rightarrow P} \left ( \frac {\delta \theta}{\delta t} \right ) = \left ( \frac {d \theta}{dt} \right )
इसलिए, किसी कण का कोणीय वेग ( angular velocity ) ( \omega ) , समय के सापेक्ष में कोणीय विस्थापन ( angular displacement ) ( \theta ) का प्रथम क्रम व्युत्पन्न ( first order derivative ) होता है।
3. Angular acceleration
कोणीय त्वरण
कोणीय वेग में परिवर्तन की दर को कोणीय त्वरण ( angular acceleration ) कहा जाता है।
अतः कोणीय त्वरण = कोणीय वेग में परिवर्तन की दर।
या, \quad \alpha = \left ( \frac {d \omega}{d t} \right ) = \frac {d}{d t} \left ( \omega \right )
इसलिए, किसी कण का कोणीय त्वरण ( angular acceleration ) ( \alpha ) , समय के सापेक्ष में कोणीय वेग ( angular velocity ) ( \omega ) का प्रथम क्रम व्युत्पन्न ( first order derivative ) होता है।
फिर, \quad \omega = \left ( \frac {d \theta}{d t} \right )
अतः \quad \alpha = \frac {d}{dt} \left ( \frac {d \theta}{dt} \right ) = \left ( \frac {d^2 \theta}{d t^2} \right )
इसलिए, किसी कण का कोणीय त्वरण ( angular acceleration ) ( \alpha ) , समय के सापेक्ष में कोणीय विस्थापन ( angular displacement ) ( \theta ) का द्वितीय क्रम व्युत्पन्न ( second order derivative ) होता है।
फिर, \quad \left ( \frac {d \omega}{d t} \right ) = \left ( \frac {d \omega}{d \theta} \right ) \times \left ( \frac {d \theta}{d t} \right ) = \left ( \frac {d \omega}{d \theta} \right ) \omega
या, \quad \alpha = \omega \left ( \frac {d \omega}{d \theta} \right )
इसलिए, किसी कण का कोणीय त्वरण ( angular acceleration ) ( \alpha ) , विस्थापन ( \theta ) के सापेक्ष में कोणीय वेग ( angular velocity ) ( \omega ) का प्रथम क्रम व्युत्पन्न ( first order derivative ) होता है।
4. Time period
आवर्त काल
किसी कण के द्वारा अपने वृत्ताकार पथ में एक पूर्ण परिक्रमण पूरा करने में लगने वाले समय को उसका परिक्रमण काल ( period of revolution )या आवर्त काल ( Time period ) कहते हैं।
यदि आवर्त काल को ( T ) के द्वारा दर्शाया जाये तो ( T ) समय में कोणीय विस्थापन ( \theta = 2 \pi ) रेडियंस होगा।
5. Frequency
आवृत्ति
प्रति इकाई समय में परिक्रमणों की संख्या आवृत्ति ( frequency ) कहलाती है।
अतः परिक्रमण की आवृत्ति ( frequency of revolution ) का मान होगा –
\nu = \left ( \frac {1}{T} \right )
परन्तु, कोणीय वेग = इकाई समय में कोणीय विस्थापन।
हम जानते है की एक पूर्ण परिक्रमण में ( \theta = 2 \pi ) रेडियंस का विस्थापन होता है। एक पूर्ण परिक्रमण में ( t = T ) का समय लगता है।
अतः \quad \omega = \left ( \frac {\theta}{t} \right ) = \left ( \frac {2 \pi}{T} \right )
= 2 \pi \left ( \frac {1}{T} \right ) = 2 \pi \nu
जहाँ ( \nu ), परिक्रमण की आवृत्ति ( frequency ) है।
अर्थात, \quad \omega = 2 \pi \nu
Relation between Linear & Angular quantities
रेखीय और कोणीय राशियों में सम्बन्ध
रैखिक मात्राओं और गति की कोणीय मात्राओं के बीच बहुत ही सरल संबंध मौजूद है। ये इस प्रकार हैं-
Linear displacement & Angular displacement
रेखीय और कोणीय विस्थापन में सम्बन्ध
चित्र के अनुसार, ( \delta t ) समय में कण का रेखीय विस्थापन ( linear displacement ) ( PQ = ds ) है।
हम जानते हैं कि, वृत्तियाँ चाप = त्रिज्या × कोण का मान रेडियन में।
अतः कण का रेखीय विस्थापन ( linear displacement ) होगा –
\delta s = r \times \delta \theta
अतः \quad \text {Linear displacement} = \text {Radius} \ \times \ \text {Angular displacement}
Linear velocity & Angular velocity
रेखीय वेग और कोणीय वेग
चित्र में दिखाए गए एक कण पर विचार करें जो ( r ) त्रिज्या वाले एक वृत्तीय पथ पर ( v ) रेखीय वेग तथा ( \omega ) कोणीय वेग से परिक्रमण करता है।
मान लें की प्रारम्भ में कण A बिंदु पर है और 1 सेकेण्ड के बाद उसकी स्थिति बिंदु P पर होती है।
तब वृत्त-चाप की लम्बाई ( length of arc ) ( AP ) ही कण के द्वारा इकाई समय में तय की गयी वास्तविक दूरी होगी जिसे ( linear velocity ) ( v ) कहा जाता है।
और कण का कोणीय वेग ( angular velocity ) \quad \angle AOP = \omega रेडियंस है।
परन्तु \quad \left ( \frac {\text {वृत्त-चाप} AP}{OA} \right ) = \angle {AOP} कोण में रेडियंस की संख्या।
अब, रेखीय वेग \quad v = \left ( \frac {ds}{dt} \right )
परन्तु, \quad ds = ( r \times d \theta )
अतः \quad v = \left ( \frac {r \times d \theta}{dt} \right ) = \left ( r \times \omega \right )
या \quad v = \omega r
अतः \quad \text {Linear velocity} = \text {Radius} \ \times \ \text {Angular velocity}
Linear acceleration & angular acceleration
रेखीय और कोणीय त्वरण में सम्बन्ध
हम जानते हैं कि \quad v = \omega r
इस समीकरण को समय के सापेक्ष में डिफ्रेंसिएट ( differentiate ) करने पर हम पाते हैं कि –
\left ( \frac {dv}{dt} \right ) = r \left ( \frac {d \omega}{dt} \right )
परन्तु \quad \left ( \frac {dv}{dt} \right ) = a \quad और \quad \left ( \frac {d \omega}{dt} \right ) = \alpha
अतः \quad a = r \alpha
इसलिए, रेखीय त्वरण = त्रिज्या × कोणीय त्वरण।
इस विषय पर आधारित संख्यात्मक प्रश्न देखें।