What are Kinematic Equations?
किनेमैटिक समीकरण क्या हैं?
एक सरल रेखा पथ या वृत्ताकार पथ पर किसी वस्तु की गति ( motions ) को नियंत्रित करने वाले समीकरण किनेमेटिक समीकरण ( Kinematic equations ) कहलाते हैं।
ये समीकरण चार प्रकार के हैं –
- निश्चित समय बाद velocity निर्धारण का समीकरण।
- निश्चित समय में तय की गई displacement का समीकरण।
- निश्चित स्थिति पर वेग निर्धारण का समीकरण।
- ( n_{th} ) सेकेण्ड में तय की गयी दूरी निर्धारण का समीकरण।
ये समीकरण न्यूटन के गति के नियम ( Newton’s laws of motion ) पर आधारित होती हैं। रेखीय गति ( linear motion ) और वृत्तीय गति ( circular motion ) दोनों की समीकरणें एक ही रूप में होती हैं। इनको ज्ञात करने के लिए निम्न तथ्यों को समझ लेते हैं।
रेखीय गति ( linear motion ) के लिए
चित्र में दिखाए गए एक वस्तु जो X अक्ष की सकारात्मक दिशा में स्थिर त्वरण ( uniform acceleration ) ( \alpha ) के साथ गतिमान है, उसपर विचार करें।
मान लें कि –
- समय ( t = 0 ) पर कण की प्रारंभिक स्थिति ( initial position ) ( x_0 ) है।
- समय ( t = t ) पर कण की अंतिम स्थिति ( final position ) ( x ) है।
- समय ( t = 0 ) पर कण का प्रारंभिक वेग ( initial velocity ) ( v_0 ) है।
- समय ( t = t ) पर कण का अंतिम वेग ( final velocity ) ( v ) है।
- कुल ( t ) समय में कण का रेखीय विस्थापन ( linear displacement ) ( S ) है।
- कण पर लगता हुआ स्थिर रेखीय त्वरण ( linear acceleration ) ( a ) है।
वृत्तीय गति ( circular motion ) के लिए
चित्र में दिखाए गए एक कण जो ( r ) त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार पथ पर स्थिर कोणीय त्वरण ( \alpha ) से परिक्रमण कर रहा है, उसपर विचार करें।
मान लें कि –
- समय ( t = 0 ) पर कण का प्रारम्भिक वेग ( initial velocity ) ( \omega_0 ) है।
- समय ( t = t ) पर कण का अंतिम वेग ( final velocity ) ( \omega ) होता है।
- कुल ( t ) समय में कण का कोणीय विस्थापन ( angular displacement ) ( \theta ) है।
- कण पर लगता हुआ स्थिर कोणीय त्वरण ( angular acceleration ) ( \alpha ) है।
अब न्यूटन के गति के नियम ( Newton’s laws of motion ) का उपयोग करके निम्न तरीके से इन समीकरणों को ज्ञात करते हैं।
(1) Velocity after certain time
निश्चित समय बाद वेग
एक गतिमान वस्तु के रेखीय त्वरण ( linear acceleration ) की परिभाषा से हम पाते हैं की –
a = \frac {\text {वेग में परिवर्तन}}{\text {परिवर्तन होने में समय}}
या, \quad a = \left ( \frac {v - v_0}{t - 0} \right )
या, \quad a t = v - v_0
या, \quad v = v_0 + a t ………… (1)
इसी तरह से वृत्तीय गति के लिए यह समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है।
\omega = \omega_0 + \alpha t ……….. (1a)
(2) Distance covered in certain time
निश्चित समय में तय की गई दूरी
क्षण 0 से t के समय अंतराल में वस्तु का औसत वेग ( Average velocity ) इस प्रकार होगा –
v_{av} = \frac {\text {विस्थापन}}{\text {समय}} = \left ( \frac {x - x_0}{t} \right )
या, \quad ( x - x_0 ) = v_{av} \times t
या, \quad S = v_{av} \times t
परन्तु, \quad v_{av} = \left ( \frac {v_0 + v}{2} \right )
अतः \quad S = \left ( \frac {v_0 + v}{2} \right ) \times t
समीकरण (1) से \left [ v = v_0 + a t \right ] का मान रखने पर हम पाते हैं कि –
S = \left [ v_0 t + \left ( \frac {1}{2} \right ) \ a t^2 \right ]
अतः \quad S = v_0 t + \left ( \frac {1}{2} \right ) \ a t^2 ………. (2)
इसी तरह से वृत्तीय गति के लिए यह समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है।
\theta = \omega_0 t + \left ( \frac {1}{2} \right ) \alpha t^2 ……… (2a)
(3) Velocity at a certain position
निश्चित स्थिति पर वेग
समीकरण (1) से हम जानते हैं कि –
v = ( v_0 + \ a t )
या, \quad ( v - v_0 ) = a t …………. (3)
और \quad \left [ S = v_{av} \times t \right ]
या, \quad \left ( \frac {v + v_0}{2} \right ) \times t = S
अतः \quad ( v + v_0 ) = \left ( \frac {2S}{t} \right ) ………… (4)
समीकरण (3) को समीकरण (4) के साथ गुणा करने पर –
\left ( v + v_0 \right ) \left ( v - v_0 \right ) = \left ( \frac {2 S a t}{t} \right )
या, \quad ( v^2 - v^2_0 ) = 2 a S
अतः \quad v^2 = ( v^2_0 + 2 a S ) ………. (5)
इसी तरह से वृत्तीय गति के लिए यह समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है।
\omega^2 = ( \omega^2_0 + 2 \alpha \theta ) …….… (5a)
(4) Distance covered in ( n_{th} ) second
n_{th} सेकेण्ड में तय की गयी दूरी
वस्तु द्वारा ( n_{th} ) सेकेण्ड में तय की गयी दूरी को, ( n ) सेकेण्ड में तय की गयी दूरी और \left ( n - 1 \right ) सेकेण्ड में तय की गयी दूरी के अंतर से प्राप्त किया जा सकता है।
पहले ( n ) सेकेण्ड में तय की गयी दूरी को समीकरण (2) के अनुसार प्राप्त करते हैं –
S_n = v_0 n + \left ( \frac {1}{2} \right ) \ a n^2
इसी प्रकार, पहले \left ( n - 1 \right ) सेकेण्ड में तय की गयी दूरी होगी –
S_{( n - 1 )} = v_0 ( n - 1 ) + \left ( \frac {1}{2} \right ) a ( n - 1 )^2
अतः ( n_{th} ) सेकेण्ड में तय की गयी दूरी होगी –
S_{n_{th}} = S_n - S_{( n - 1 )}
= \left [ v_0 n + \left ( \frac {1}{2} \right ) a n^2 \right ] - \left [ v_0 ( n - 1 ) + \left ( \frac {1}{2} \right ) a ( n - 1 )^2 \right ]
सरल करने पर हम पाते हैं कि –
S_{n_{th}} = v_0 + \left ( \frac {a}{2} \right ) \left ( 2n - 1 \right ) ……… (6)
इसी तरह से वृत्तीय गति के लिए यह समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है।
\theta_{n_{th}} = \omega_0 + \left ( \frac {\alpha}{2} \right ) \left ( 2n - 1 \right ) ………. (6a)
Equations by calculus
कैलकुलस विधि द्वारा समीकरण
किनेमैटिक्स समीकरणों का मूल्यांकन कैलकुलस विधि द्वारा निम्नानुसार किया जा सकता है।
(1) Velocity after certain time
निश्चित समय बाद वेग
रेखीय त्वरण ( acceleration ) की परिभाषा के अनुसार –
a = \left ( \frac {dv}{dt} \right )
या, \quad dv = a dt …….. (1)
मान लें कि –
जब समय ( t = 0 ) है तब प्रारंभिक वेग ( initial velocity ) ( u ) है।
और जब समय ( t = t ) है तब अंतिम वेग ( initial velocity ) ( v ) है।
समीकरण (1) को समय और वेग की उपरोक्त सीमा के अंदर इंटीग्रेट करने पर हम पाते हैं कि –
\int\limits_{u}^{v} dv = \int\limits_{0}^{t} a dt
= a \int\limits_{0}^{t} dt
अतः \quad \left [ v \right ]_{u}^{v} = a \left [ t \right ]_{0}^{t}
या, \quad ( v - u ) = a \left ( t - 0 \right )
इसलिए \quad v = ( u + a t ) ……… (2)
(2) Distance covered in a certain time
निश्चित समय में तय की गई दूरी
वेग ( Velocity ) की परिभाषा के अनुसार –
v = \left ( \frac {dS}{dt} \right )
या, \quad dS = v dt = ( u + a t ) dt ……… (3)
जब समय ( t = 0 ) है तब तय की गयी दुरी ( 0 ) है।
और जब समय ( t = t ) है तब तय की गयी दुरी ( S ) है।
समीकरण (3) को समय और दूरी की उपरोक्त सिमा के अंदर इंटीग्रेट करने पर हम पाते हैं कि –
\int\limits_{0}^{S} dS = \int\limits_{0}^{t} \left ( u + a t \right ) dt
= u \int\limits_{0}^{t} + a \int\limits_{0}^{t} t dt
अतः \quad \left [ S \right ]_{0}^{S} = u \left [ t \right ]_{0}^{t} + a \left [ \frac {t^2}{2} \right ]_{0}^{t}
या, \quad ( S - 0 ) = u ( t - 0 ) + a \left [ \frac {t^2}{2} - 0 \right ]
इसलिए \quad S = \left [ u t + \left ( \frac {1}{2} \right ) a t^2 \right ] ……. (4)
(3) Velocity at a certain position
निश्चित स्थिति पर वेग
त्वरण ( acceleration ) की परिभाषा के अनुसार –
a = \left ( \frac {dv}{dt} \right )
= \left ( \frac {dv}{dS} \right ) \times \left ( \frac {dS}{dt} \right )
= \left ( \frac {dv}{dS} \right ) v
या, \quad a \ dS = v \ dv …….. (5)
जब समय ( t = 0 ) है तब प्रारंभिक वेग ( u ) है और तय की गयी दुरी ( 0 ) है।
और, जब समय ( t = t ) है तब अंतिम वेग ( v ) है और तय की गयी दुरी ( S ) है।
समीकरण (5) को वेग और दूरी की उपरोक्त सिमा के अंदर इंटीग्रेट करने पर हम पाते हैं कि –
\int\limits_{0}^{S} a dS = \int\limits_{u}^{v} v dv
या, \quad a \int\limits_{0}^{S} dS = \int\limits_{u}^{v} v dv
या, \quad a [ S ]_{0}^{S} = \left [ \frac {v^2}{2} \right ]_{u}^{v}
या, \quad a [ S - 0 ] = \left ( \frac {v^2}{2} - \frac {u^2}{2} \right )
या, \quad 2 a S = ( v^2 - u^2 )
अतः \quad v^2 = ( u^2 + 2 a S ) ……… (6)
(4) Distance covered in ( n_{th} ) second
n_{th} सेकेण्ड में तय की गयी दूरी
वेग ( Velocity ) की परिभाषा के अनुसार –
v = \left ( \frac {dS}{dt} \right )
या, \quad dS = v dt = ( u + a t ) dt …….. (7)
जब समय [ t = ( n - 1 ) ] है तब तय की गयी दुरी [ S_{(n - 1)} ] है।
और जब समय ( t = n ) है तब तय की गयी दुरी ( S_{n} ) है।
समीकरण (7) को समय और दूरी की उपरोक्त सिमा के अंदर इंटीग्रेट करने पर हम पाते हैं कि –
\int\limits_{S_{(n-1)}}^{S_n} dS = \int\limits_{n}^{(n - 1)} ( u + a t ) dt
या, \quad \left [ S \right ]_{S_{(n-1)}}^{S_n} = u \left [ t \right ]_{n}^{(n - 1)} + a \left [ \frac {t^2}{2} \right ]_{n}^{(n - 1)}
अतः \quad S_n - S_{(n - 1)} = u [ n - ( n - 1 ) ] + \frac {a}{2} [ n^2 - ( n - 1 )^2 ]
= u + \frac {a}{2} [ n^2 - ( n^2 - 2n + 1 ) ]
अतः \quad S_{n_{th}} = u + \left ( \frac {a}{2} \right ) ( 2n - 1 ) …….. (8)