Displacement Time Graph

What is Displacement Time Graph?

विस्थापन-समय ग्राफ क्या होता है?

किसी वस्तु की गति के अभिलक्षणों को विभिन्न आलेखों ( graph ) के द्वारा दर्शाया जाता है जैसा की displacement-time graph, velocity-time graph इत्यादि। इन आलेखों में निम्न आलेख बहुत महत्वपूर्ण होते हैं –

1. विस्थापन-समय ग्राफ ( Displacement – time graph )
2. वेग-समय गटाफ ( Velocity – time graph )

विस्थापन-समय ग्राफ में, विस्थापन को Y अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है और समय को X अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। ये ग्राफ गति की विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और उन्हें भली-भांति समझने के लिए ये महत्वपूर्ण साधन होते हैं।

ये निम्न प्रकार के होते हैं –

1. विरामावस्था में वस्तु ( body at rest ) का विस्थापन-समय ग्राफ।
2. स्थिर गति से गतिमान वस्तु ( body moving with uniform motion ) का विस्थापन-समय ग्राफ।
3. त्वरित गति से गतिमान वस्तु ( body with moving uniform acceleration ) का विस्थापन-समय ग्राफ।
4. मंदित गति से गतिमान वस्तु ( body moving with retardation ) का विस्थापन-समय ग्राफ।

इनका विवरण इस प्रकार से है –

1. Displacement time graph for body at rest

विरामावस्था का विस्थापन-समय ग्राफ

दिखाए गए चित्र में, स्थिर अवस्था ( rest ) में एक वस्तु का विस्थापन-समय ग्राफ पर विचार करें –

1. ( t_0 ) समय पर वस्तु की प्रारम्भिक स्थिति ( x_0 ) बिंदु पर है। इसी तरह ( t_1 ) और ( t_2 ) समय पर भी वस्तु की स्थिति ( x_0 ) बिंदु पर ही है। अर्थात वस्तु की स्थिति ( position ) समय के साथ नहीं बदल रहा है।
2. अतः विस्थापन-समय ग्राफ ( AB ), समय अक्ष X के समानांतर एक सीधी रेखा होती है।
3. विस्थापन-समय रेखा ( AB ) का ढलान ( slope ) शुन्य है। यह वस्तु के शून्य वेग को दर्शाता है।
4. समय के साथ विस्थापन ( displacement ) में कोई परिवर्तन नहीं हो रहा है।
5. अतः यह ग्राफ वस्तु के विराम अवस्था ( rest ) को दर्शाता है।

   

2. Displacement time graph for uniform speed

स्थिर गति वाले वस्तु का विस्थापन-समय ग्राफ

दिखाए गए चित्र में, स्थिर गति ( uniform speed ) से गतिमान एक वस्तु का विस्थापन-समय ग्राफ पर विचार करें –

1. विस्थापन-समय ग्राफ ( AB ), एक सीधी रेखा है।
2. ( t_0 ) समय पर वस्तु की प्रारम्भिक स्थिति ( x_0 ) बिंदु पर है। इसी तरह ( t_1 ) और ( t_2 ) समय पर वस्तु की स्थिति क्रमशः ( x_1 ) और ( x_2 ) बिंदु पर है। अर्थात वस्तु की स्थिति ( position ) समय के साथ बदल रहा है।
3. अतः वस्तु गतिमान अवस्था में है।
4. ग्राफ AB समय अक्ष पर झुका हुआ है। इसका ढलान निश्चित ( constant ) है –

ग्राफ का ढलान है –

\tan \theta = \left ( \frac {QR}{PR} \right ) = \left ( \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \right )

या \quad \tan \theta = \left ( \frac {\text {विस्थापन}}{\text {समय}} \right ) = \text {वस्तु का वेग}

1. अतः ग्राफ का ढलान वस्तु के वेग को दर्शाता है। इसका एक ही ढलान है।
2. एक ढलान का होना यह इंगित करता है कि वस्तु स्थिर वेग ( uniform velocity ) से गति कर रहा है। अर्थात वास्तु पर लगता हुआ त्वरण ( acceleration ) शून्य है।

3. Displacement time graph for uniform acceleration

त्वरित गति वाले वस्तु का विस्थापन-समय ग्राफ

दिखाए गए चित्र में, स्थिर त्वरण ( uniform acceleration ) से गतिमान एक वस्तु का विस्थापन-समय ग्राफ पर विचार करें –

1. विस्थापन-समय ग्राफ ( OB ), एक वक्र रेखा है जिसमें ढलान बढ़ रहा है।
2. समय के साथ, समान समय अंतराल में विस्थापन अधिक हो रहा है। क्योंकि समय अंतराल ( t_3 - t_2 ) और ( t_2 - t_1 ) बराबर हैं, परन्तु विस्थापन ( x_3 - x_2 ) > ( x_2 - x_1 ) है।
3. ( P ) बिंदु पर ग्राफ का ढलान \quad \tan \theta_{1} = \left ( \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \right )

   

4. ( Q ) बिंदु पर ग्राफ का ढलान \quad \tan \theta_{2} = \left ( \frac {x_3 - x_2}{t_3 - t_2} \right )

यहाँ ( t_2 - t_1 ) = ( t_3 - t_2 ) है और ( x_3 - x_2 ) > ( x_2 - x_1 ) है। अतः ( \tan \theta_{2} > \tan \theta_{1} ) है।

1. अतः ग्राफ का ढलान बढ़ रहा है। यह ग्राफ एक त्वरित वेग ( accelerated motion ) के साथ गतिमान वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है।
2. वक्र रेखा ( OB ) एक पैराबोला ( parabola ) है जो ऊपर की ओर झुकता है।

4. Displacement time graph of retardation

मंदित गति वाले वस्तु का विस्थापन-समय ग्राफ

दिखाए गए चित्र में, मंदता ( retardation ) से गतिमान एक वस्तु का विस्थापन-समय ग्राफ पर विचार करें –

1. विस्थापन – समय ग्राफ OB घटते ढलान वाला एक वक्र है।

   

2. समय के साथ, समान समय अंतराल में विस्थापन कम हो रहा है। क्योंकि समय अंतराल ( t_3 - t_2 ) [katex] और [katex] ( t_2 - t_1 ) बराबर हैं, परन्तु विस्थापन ( x_3 - x_2 ) < ( x_2 - x_1 ) है।
3. ( P ) बिंदु पर ग्राफ का ढलान \quad \tan \theta_{1} = \left ( \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} \right )
4. ( Q ) बिंदु पर ग्राफ का ढलान \quad \tan \theta_{2} = \left ( \frac {x_3 - x_2}{t_3 - t_2} \right )

यहाँ ( t_2 - t_1 ) = ( t_3 - t_2 ) और ( x_3 - x_2 ) < ( x_2 - x_1 ) है। अतः ( \tan \theta_{2} < \tan \theta_{1} ) है।

1. अतः ग्राफ का ढलान घट रहा है। यह ग्राफ एक मंदित वेग ( retarded motion ) के साथ गतिमान वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है।
2. वक्र रेखा ( OB ) एक पैराबोला ( parabola ) है जो नींचे की ओर झुकता है।

Velocity Time Graph

वेग-समय ग्राफ

वेग-समय ग्राफ में, वेग को Y अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है और समय को X अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है।

ये निम्न प्रकार के होते हैं -

1. स्थिर गति से गतिमान वस्तु का ( body moving with uniform velocity ) वेग-समय ग्राफ।
2. स्थिर त्वरण से गतिमान वस्तु का ( body moving with uniform acceleration ) वेग-समय ग्राफ।
3. त्वरित गति से गतिमान वस्तु का ( body moving with accelerated motion ) वेग-समय ग्राफ।
4. मंदित गति से गतिमान वस्तु का ( body moving with retarded motion ) वेग-समय ग्राफ।

इनका विवरण इस प्रकार से है -

1. Velocity time graph of uniform velocity

स्थिर वेग वाले वस्तु का वेग-समय ग्राफ

दिखाए गए चित्र में, स्थिर वेग ( uniform velocity ) से गतिमान एक वस्तु का वेग-समय ग्राफ पर विचार करें -

1. ( t_0 ) समय पर वस्तु का प्रारम्भिक वेग ( v_0 ) है। ( t_1 ) और ( t_2 ) समय पर भी वस्तु का वेग ( v_0 ) ही है। अर्थात वस्तु का वेग ( velocity ) समय के साथ नहीं बदल रहा है।
2. अतः वेग-समय ग्राफ ( AB ), समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा होती है।
3. रेखा का ढलान शून्य है। यह शुन्य त्वरण को इंगित करता है।
4. समय के साथ वस्तु के वेग में कोई परिवर्तन नहीं हो रहा है।
5. अतः वस्तु स्थिर वेग ( uniform velocity ) के साथ गति में है।

2. Velocity time graph of uniform acceleration

स्थिर त्वरण वाले वस्तु का वेग-समय ग्राफ

दिखाए गए चित्र में, स्थिर त्वरण ( uniform acceleration ) से गतिमान एक वस्तु का वेग-समय ग्राफ पर विचार करें -

1. वेग-समय ग्राफ ( AB ), एक सीधी रेखा है।
2. ( t_0 ) समय पर वस्तु का प्रारम्भिक वेग ( v_0 ) है। इसी तरह ( t_1 ) और ( t_2 ) समय पर वस्तु का वेग क्रमशः ( v_1 ) और ( v_2 ) है। अर्थात वस्तु का वेग ( velocity ) समय के साथ बदल रहा है।
3. अतः वस्तु त्वरित गति से गतिमान है।
4. ग्राफ ( AB ) समय अक्ष पर झुका हुआ है। इसका ढलान निश्चित ( constant ) है -

ग्राफ का ढलान होगा -

\tan \theta = \left ( \frac {QR}{PR} \right ) = \left ( \frac {v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \right )

= \left ( \frac {\text {वेग में परिवर्तन}}{\text {समय}} \right ) = वस्तु का त्वरण ( acceleration )।

1. अतः ग्राफ का ढलान वस्तु के त्वरण को दर्शाता है। इसका एक ही ढलान है।
2. एक ढलान इंगित करता है कि समय के साथ वस्तु का वेग स्थिर दर ( constant rate ) से बढ़ रहा है।
3. अर्थात, वस्तु स्थिर त्वरण ( uniform acceleration ) से गति कर रहा है।

3. Velocity time graph of accelerated motion

त्वरित गति वाले वस्तु का वेग-समय ग्राफ

दिखाए गए चित्र में, त्वरित वेग ( accelerated velocity ) से गतिमान एक वस्तु का वेग-समय ग्राफ पर विचार करें -

1. वेग-समय ग्राफ ( OB ), एक वक्र रेखा है जिसमें ढलान बढ़ रहा है।
2. समय के साथ, समान समय अंतराल में वेग में परिवर्तन अधिक मात्रा में हो रहा है। क्योंकि समय अंतराल ( t_2 - t_1 ) = ( t_3 - t_2 ) परन्तु वेग में परिवर्तन ( v_3 - v_2 ) > ( v_2 - v_1 ) है।
3. ( P ) बिंदु पर ग्राफ का ढलान \quad \tan \theta_{1} = \left ( \frac {v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \right ) है।
4. ( Q ) बिंदु पर ग्राफ का ढलान \quad \tan \theta_{2} = \left ( \frac {v_3 - v_2}{t_3 - t_2} \right ) है।

परन्तु ( t_2 - t_1 ) = ( t_3 - t_2 ) और ( v_3 - v_2 ) > ( v_2 - v_1 ) है। अतः ( \tan \theta_{2} > \tan \theta_{1} ) है।

1. अतः ग्राफ का ढलान बढ़ रहा है। अर्थात त्वरण लगातार बढ़ रहा है।
2. यह ग्राफ, एक त्वरित वेग ( accelerated motion ) के साथ गतिमान वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है।
3. वक्र रेखा ( OB ) एक पैराबोला ( parabola ) है जो ऊपर की ओर झुकता है।

4. Velocity time graph of retarded motion

मंदित गति वाले वस्तु का वेग-समय ग्राफ

दिखाए गए चित्र में, मंदता वेग ( retarding velocity ) में एक वस्तु का वेग-समय ग्राफ पर विचार करें -

1. वेग-समय ग्राफ ( OB ), घटते ढलान वाला एक वक्र है।
2. समय के साथ, समान समय अंतराल में वेग कम हो रहा है। क्योंकि समय अंतराल ( t_2 - t_1 ) और ( t_3 - t_2 ) बराबर हैं। परन्तु वेग में परिवर्तन ( v_3 - v_2 ) < ( v_2 - v_1 ) है।
3. ( P ) बिंदु पर ग्राफ का ढलान \quad \tan \theta_{1} = \left ( \frac {v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \right )
4. ( Q ) बिंदु पर ग्राफ का ढलान \quad \tan \theta_{2} = \left ( \frac {v_3 - v_2}{t_3 - t_2} \right )

परन्तु ( t_2 - t_1 ) = ( t_3 - t_2 ) और ( v_3 - v_2 ) < ( v_2 - v_1 ) है। अतः ( \tan \theta_{2} < \tan \theta_{1} ) है।

1. ग्राफ का ढलान घट रहा है। अर्थात मंद त्वरण ( retardation ) लगातार घट रहा है।
2. यह ग्राफ एक मंदित वेग ( retarded motion ) के साथ गतिमान वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है।
3. वक्र रेखा ( OB ) एक पैराबोला ( parabola ) है जो नींचे की ओर झुकता है।

इस विषय पर आधारित संख्यात्मक प्रश्न देखें -

• P030101
• P030102
• P030103
• P030104
• P070102