Section Modulus

What is called moment of Resistance?

प्रतिरोध आघूर्ण क्या होता है?

जब किसी बीम को  bending moment के साथ लादा जाता है तब वह एक वृत्ताकार चाप में मुड़ जाता है। इस मुड़ने को या अन्य किसी प्रकार के  deformation का विरोध करने के लिए बीम के पदार्थ में प्रतिरोध उत्पन्न होता है। इस प्रतिरोध का, तटस्थ अक्ष  ( neutral axis ) पर के आघूर्ण ( moment ) को प्रतिरोध आघूर्ण ( Moment of resistance ) कहा जाता है।

चित्र में दिखाए गए एक आयताकार अनुप्रस्थ क्रॉस सेक्शन वाले बीम पर विचार करें। मान लें कि NA बीम के खंड की तटस्थ अक्ष ( neutral axis ) है।

अब एक सूक्ष्म क्षेत्र ( \delta a ) वाले एक परत PQ पर विचार करें जो तटस्थ अक्ष से ( y ) कि दुरी पर स्थित है। मान लें कि, इस परत में बेन्डिंग मोमेंट ( M ) के कारण उत्पन्न stress का मान ( f ) है।

बेन्डिंग प्रतिबल ( Bending stress ) की परिभाषा और समीकरण से हम जानते हैं कि –

\left ( \frac {f}{y} \right ) = \left ( \frac {E}{R} \right )

इसलिए, परत PQ में उत्पन्न resistance इस प्रकार से होगा –

\text {प्रतिरोध} = ( f \times \delta a )

या, \quad \text {प्रतिरोध} = \left [ y \left ( \frac {E}{R} \right ) \times \delta a \right ]

तटस्थ अक्ष NA पर इस प्रतिरोध के आघूर्ण ( moment ) को moment of resistance कहते हैं।

अतः प्रतिरोध आघूर्ण का मान होगा –

m = \left [ y \left ( \frac {E}{R} \right ) \times \delta a \right ] \times y

= \left ( \frac {E}{R} \right ) y^2 \delta a

तटस्थ अक्ष ( Neutral axis ) NA पर ऐसे सभी सूक्ष्म क्षेत्रों के आघुर्णो का कुल योग, बीम पर लगाए गए बेन्डिंग मोमेंट (  bending moment ) ( M ) के बराबर होना चाहिए।

अतः \quad M = \sum {m}

= \sum { \left ( \frac {E}{R} \right ) y^2 \delta a }

= \left ( \frac {E}{R} \right ) \sum {y^2 \delta a}

परन्तु, अभिव्यक्ति \left ( \sum {y^2 \delta a} \right ) , बीम के खंड का जड़त्व आघूर्ण ( moment of inertia ) को दर्शाता है।

अतः \quad \sum {y^2 \delta a} = I

इसलिए, बेन्डिंग मोमेंट के लिए अभिवयक्ति को हम इस प्रकार से लिख सकते हैं –

MOMENT OF RESISTANCE OF SECTION
100701 MOMENT OF RESISTANCE OF SECTION

M = \left ( \frac {E}{R} \right ) \sum {y^2 \delta a}

= \left ( \frac {E}{R} \right ) \times I

अर्थात, \quad \left ( \frac {M}{I} \right ) = \left ( \frac {E}{R} \right )

अतः बेन्डिंग स्ट्रेस ( bending stress ) और बेन्डिंग मोमेंट ( bending moment ) की अभिव्यक्तियों का सम्मिलित रूप इस प्रकार होता है –

\left ( \frac {f}{y} \right ) = \left ( \frac {M}{I} \right ) = \left ( \frac {E}{R} \right )

इसे, बेन्डिंग मोमेंट समीकरण ( Equation for Bending Moment ) के नाम से जाना जाता है।


Section Modulus

सेक्शन मॉडुलस

किसी खंड का सेक्सन मॉडुलस को उस खंड के जड़त्व आघूर्ण ( I ) और खंड के तटस्थ अक्ष से अधिकतम प्रतिबल वाले परत की दूरी ( y ) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

बेन्डिंग मोमेंट समीकरण से, किसी खंड का प्रतिरोध आघूर्ण इस प्रकार होता है –

\left ( \frac {f}{y} \right ) = \left ( \frac {M}{I} \right )

या, \quad M = f \left ( \frac {I}{y} \right )

मान लें, ( f_c ) अधिकतम संपीड़न प्रतिबल ( compressive stress ) है जो तटस्थ अक्ष से ( y_c ) दूरी पर स्थित सबसे ऊपरी परत में उत्पन्न होती है और ( f_t ) अधिकतम तनाव प्रतिबल ( tensile stress ) है जो तटस्थ अक्ष से ( y_t ) दूरी पर स्थित सबसे निचली परत में उत्पन्न होती है।

तब, \quad M = f_c \left ( \frac {I}{y_c} \right ) \quad अथवा \quad M = f_t \left ( \frac {I}{y_t} \right )

यहाँ, \quad \left ( \frac {I}{y_c} \right ) = Z_c \ \text {और} \ \left ( \frac {I}{y_t} \right ) = Z_t को खंड मापांक ( modulus of section ) या सेक्शन मॉडुलस ( section modulus ) कहा जाता है।

अतः \quad M = ( f_c \times Z_c ) \quad अथवा \quad M = ( f_t \times Z_t )

यदि कोई खंड सममित ( symmetrical ) है, तब ( y_c = y_t ) और ( f_c ) \ \text {तथा} \ ( f_t ) के अधिकतम मान एक ही साथ होंगे।

मान लें कि प्रतिबल का अधिकतम मान ( f_{max} ) है।

तब, \quad f_{max} = f_c \ \text {या} \ f_t

और सममित खंड के लिए \quad Z = Z_c \ \text {या} \ Z_t

इसलिए, एक सममित खंड के लिए प्रतिरोध आघूर्ण \quad M = ( f_{max} Z ) होगा।

Section modulus of rectangular section

आयताकार खंड का सेक्शन मॉडुलस

एक आयताकार खंड के बीम पर विचार करें जिसमे, खंड की चौड़ाई ( b ) और गहराई ( d ) है जो बेन्डिंग मोमेंट ( M ) के अधीन है।

तब, तटस्थ अक्ष पर आयताकार खंड का जड़त्व आघूर्ण ( moment of inertia ) इस प्रकार होगा –

I = \left ( \frac {bd^3}{12} \right )

और इसके अधिकतम दूरी ( extreme ) वाले परतों की दूरी \quad y_c = y_t = \left ( \frac {d}{2} \right ) होगी।

अतः \quad Z = \left ( \frac {I}{y} \right )

= \left ( \frac {bd^3}{12} \right ) \div \left ( \frac {d}{2} \right )

= \left ( \frac {1}{6} bd^3 \right )

Section modulus of circular section

वृत्ताकार खंड का सेक्शन मॉडुलस

एक वृत्ताकार खंड वाले बीम पर विचार करें जिसमे, खंड का व्यास ( d ) है और बेन्डिंग मोमेंट ( M ) के अधीन है।

तब, व्यास पर किसी वृत्ताकार खंड का जड़त्व आघूर्ण ( moment of inertia ) इस प्रकार होता है –

I = \left ( \frac {\pi}{64} d^4 \right )

और इसके अधिकतम दूरी वाले परतों की दूरी y_c = y_t = \left ( \frac {d}{2} \right ) होगी।

अतः \quad Z = \left ( \frac {I}{y} \right )

= \left ( \frac {\pi}{64}d^4 \right ) \div \left ( \frac {d}{2} \right )

= \left ( \frac {\pi}{32} \right ) d^3

Section modulus of hollow circular section

खोखली वृत्ताकार खंड का सेक्शन मॉडुलस

एक खोखली वृत्ताकार खंड वाले बीम पर विचार करें जिसमें खंड का बाह्य व्यास ( D ) तथा आंतरिक व्यास ( d ) है और बेन्डिंग मोमेंट ( M ) के अधीन है।

व्यास पर एक खोखली वृत्ताकार खंड का जड़त्व आघूर्ण ( moment of inertia ) इस प्रकार होता है –

I = \left ( \frac {\pi}{64} \right ) \left ( D^4 - d^4 \right )

और इसके अधिकतम दूरी वाले परतों की दूरी \quad y_c = y_t = \left ( \frac {D}{2} \right ) होती है।

अतः \quad Z = \left ( \frac {\pi}{64} \right ) \left ( D^4 - d^4 \right ) \div \left ( \frac {D}{2} \right )

= \left ( \frac {\pi}{32} \right ) \left ( \frac {D^4 - d^4 }{D} \right )


Distribution of stress

प्रतिबल का वितरण

अब तक की व्याख्या से यह स्पष्ट होता है कि –

  • तटस्थ अक्ष ( neutral axis ) पर कोई प्रतिबल ( stress ) नहीं होता है।
  • तटस्थ अक्ष के ऊपर की सभी परतें संपीड़न प्रतिबल ( compressive stress ) ( f_c ) के अधीन होती हैं।
  • तटस्थ अक्ष के नीचे की सभी परतें तनाव प्रतिबल ( tensile stress ) ( f_t ) के अधीन होती हैं।
  • किसी परत पर प्रतिबल, तटस्थ अक्ष से उसकी दूरी के समानुपाती होता है।

अतः \quad f \propto y

इसलिए, यदि हम प्रतिबल ( f_c ) तथा ( f_t ) के मान को खंड की गहराई के साथ आलेख में दर्शाते हैं तो प्राप्त आलेख को प्रतिबल वितरण आरेख ( Stress Distribution Diagram ) कहा जाता है।

DISTRIBUTION OF STRESS
100702 DISTRIBUTION OF STRESS

तटस्थ अक्ष की स्थिति को चित्र में दिखाया गया है। अधिकतम प्रतिबल, जो सबसे बाहरी परतों पर होता है वह संपीड़ित या तन्यता प्रतिबल हो सकता है।

सममित ( symmetrical ) खंड जैसे वर्गाकार, आयताकार या वृत्ताकार खंड में द्रब्यमान केंद्र ( centre of mass ), खंड के केन्द्रक ( centroid ) पर स्थित होता है।

इसलिए, सममित खंडो के लिए \quad f_c = f_t = f_{max} होता है, और \quad y_c = y_t = \left ( \frac {d}{2} \right ) यहाँ ( d ) खंड की गहराई है।


Flitched beam

FLITCHED BEAM
100703 FLITCHED BEAM

फ्लिच्ड बीम

  • एक फ्लिच्ड बीम ( flitched beam ) में, लकड़ी की दो परतों के बीच एक स्टील की परत डाली जाती है और फिर तीनों परतों को बोल्ट और नट्स के द्वारा एक साथ कस दिया जाता है।
  • एक मिश्रित बीम ( composite beam ) में, एक कमजोर पदार्थ के खंड को मजबूत करने के लिए उसके दो परतों के बिच, एक मजबूत पदार्थ के प्लेट को डालकर कसा जाता है। इस प्रकार यह संयुक्त खंड, एकल इकाई के रूप में व्यवहार में लाया जाता है।
  • लकड़ी के बीम को या सीमेंट कॉन्क्रीट को, स्टील की प्लेट या छड़ों के साथ मजबूत करने की विधि को प्रबलन ( reinforcement ) कहा जाता है।

उदाहरण –

  1. तनाव शक्ति ( tensile strength ) के मामले में स्टील बहुत मजबूत होता है परन्तु संपीड़न शक्ति ( compressive strength ) के लिए कमजोर होता है। जबकि लकड़ी संपीड़न शक्ति ( compressive strength ) के मामले में मजबूत और तनाव शक्ति ( tensile strength ) में कमजोर होती है। इसलिए, जब लकड़ी के बीम को सिम्पली सपोर्टेड बीम ( simply supported beam ) के तरह उपयोग में लाया जाता है तब, स्टील के प्लेट को लकड़ी के प्लेट के नीचे बोल्ट किया जाता है। नीचे के तरफ स्टील प्लेट लगे हुए एक लकड़ी के बीम को चित्र में दिखाया गया है।
  2. प्रबलित सीमेंट कंक्रीट ( reinforced cement concrete ), मिश्रित बीम का एक उदाहरण है। तनाव शक्ति ( tensile strength ) को बढ़ाने के लिए सीमेंट कॉन्क्रीट के जिस भाग में तनाव प्रतिबल का प्रभाव अधिक होता है वहाँ स्टील की छड़े डाली जाती हैं।

मिश्रित बीम, प्रबलन या फ्लिच्ड बीम के उपयोग से विनिर्माण लागत ( manufacturing cost ) और जगह ( space ) दोनों में बचत किया जाता है।

प्रबलित खंड ( composite section ) का कुल प्रतिरोध आघूर्ण, अलग-अलग पदार्थो के खंडो या परतों के प्रतिरोध आघुर्णों के कुल योग के बराबर होता है।

यदि किसी मिश्रित बीम खंड में स्टील प्लेट का प्रतिरोध आघूर्ण ( M_s ) और लकड़ी का प्रतिरोध आघूर्ण ( M_t ) है, तब बीम खंड का कुल प्रतिरोध आघूर्ण इस प्रकार से होगा –

M = M_s + M_t


इस विषय पर आधारित संख्यात्मक प्रश्न देखें –